Chapitre2 : Rappels Fondamentaux

Représentation complexe des courants et tensions alternatifs sinus

on peu voir que l'importation des fondamentaux des nombres complexes est bonifier pour électricité par la suit:

Rappels sur les nombres complexes

Soit z ∈ C, C étant l'espace en deux dimensions des nombres complexes, on peut écrire :

z = a + i.b avec i le nombre complexe unité tel que i² = -1. On préfère, en électricité, et pour ne pas confondre i

avec un courant, écrire : z = a+jb avec j le nombre complexe unité.

On représente de façon classique les nombres complexes dans un plan appelé plan complexe représenté ci contre :

plan Complexe
  • La norme (ou module) du complexe z s'écrit :

    r = | z | = √(a² + b²)

  • La projection du module sur les axes donne :

    a = r.cosθ et b = r.sinθ

  • D'où l'écriture polaire du nombre complexe z :

    z = a + i.b = r(cosθ + jsinθ) = r.e(jθ)

  • θ est appelé l'argument de z,

    on écrit: θ = Arg(z) = Arctan(b/a)

Spécificité de l'électrotechnique :

En électrotechnique, les récepteurs électriques sont pratiquement toujours connectés aux bornes d'une même source fournissant une tension sinusoïdale. En considérant la tension u(t), comme tension d'alimentation d'un système de charges, on considèrera souvent cette tension comme étant à l'origine des phases, c'est à dire que u(t)= Um.cos(ω.t).

Par ailleurs, la grande majorité des récepteurs électriques sous tension sinusoïdale est représentée par des récepteurs inductifs. Ainsi, dans la plupart des cas, le courant i(t) traversant un dipôle est en retard par rapport à la tension u(t).

On écrira alors par convention : i(t)= Im.cos(ω.t - ϕ) avec ϕ>0.

Cette écriture (avec le signe moins dans le cosinus) est une convention d'écriture propre à l'électrotechnique mais est rarement utilisée en électronique ou automatique.

Il faut bien comprendre que pour représenter une grandeur sinusoïdale, il suffit, à fréquence constante, de connaître son module et sa phase.

En électrotechnique, l'écriture sous forme complexe des courants et des tensions permet de ne les caractériser que par ces deux grandeurs et non plus en fonction du temps. On fera alors, de façon universelle, l'équivalence formulée dans le cadre ci dessous (par convention pour un récepteur inductif) :

Représentation d'une grandeur sinusoïdale

Dans le cas du récepteur capacitif, le déphasage est évidemment de signe opposé, on retiendra :

Récepteur Capacitif

Application aux récepteurs électriques

En régime alternatif quelconque, il existe trois grands types de dipôles : les résistances, comme en continu, mais aussi les inductances et les capacités. A chacun de ces dipôles correspond une relation liant la tension à ses bornes et le courant qui le traverse. Les relations générales courant tension sont :

Relations courant tension

En utilisant la notation complexe, les relations générales courant tension des dipôles de base deviennent alors :

Notation complexe
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