Les Puissances Électriques

Puissance électrique en alternatif sinusoïdal

En alternatif sinusoïdal, les grandeurs dépendent du temps. On considère le cas général le plus répandu en électrotechnique d'un dipôle inductif, c'est à dire d'un courant déphasé en arrière d'un angle φ par rapport à la tension :

v(t) = Vmax.cos(ω)

i(t) = Imax.cos(ωt – ϕ)

Courant et tension déphasé

Puissance instantanée

On transpose en alternatif ce qui a été établi en continu en formant : p(t) = v(t).i(t).

C'est à dire :

  • p(t) = Vmax.cos(ωt). Imax.cos(ωt – ϕ)

  • p(t) = Vmax. Imax .cos(ϕ)/2 + Vmax. Imax .cos(2ωt – ϕ)/2

en utilisant les tensions et courants efficaces :

p(t) = V. I .cos(ϕ) + V. I .cos(2ωt – ϕ)

Puissance active

C'est la valeur moyenne de la puissance instantanée, c'est à dire :

P = <p(t)> = V. I .cosϕ (en W)

Puissance fluctuante

C'est la partie variable de p(t) : Pf(t) = V. I .cos(2ωt – ϕ)

Puissance apparente

Les grandeurs v(t) et i(t) étant périodiques, on les caractérise par leurs valeurs efficaces V et I.

On définit alors la puissance apparente comme la grandeur nommée S :

S = Veff.Ieff = V.I (en VA)

Facteur de puissance

En alternatif sinusoïdal (uniquement), le facteur de puissance est défini comme la grandeur sans unité :

k = P/S = cosϕ

Puissance réactive

Elle n'est définie qu'en régime sinusoïdal. On définit la puissance réactive comme celle due à lapartie "réactive" du courant, c'est à dire à I.sinϕ . Son unité est le Volt ampère Réactif (VAR).

On retiendra la formule de cette puissance qu'on nomme classiquement Q :

Q = V.I.sinϕ (en VAR)

Relations entre P, Q est S

Notons que : P = V. I .cosϕ, Q = V.I.sinϕ et S=V.I d'où:

P² + Q² = S²

Cette formulation fait apparaître une relation également graphique entre les différentes grandeurs. On parle alors de triangle des puissances:

Triangle des puissances

Puissance apparente complexe

Pour relier toutes ces grandeurs en régime sinusoïdal pur, on peut faire apparaître une grandeur de calcul : la puissance apparente complexe , appelée S qu'on définit comme suit :

S = V.I* ( I* est le complexe conjugué de I )

Comme I=I.exp(-jϕ)=I.cosϕ – j.I.sinϕ,

V.I*=V.I.exp(+jϕ)=VI.cosϕ +j.V I.sinϕ

donc : S = P + j.Q

On retrouve également que : S= | S |.

On exprime dans le tableau ci dessous les puissances fournies par les différents récepteurs fondamentaux de l'électrotechnique, en régime alternatif sinusoïdal

Les puissances des récepteurs fondamentaux

Théorème de Boucherot

Ce théorème s'écrit : « La puissance active d'un système est la somme des puissances actives des éléments le constituant, de même pour la puissance réactive. Cependant, c'est faux en ce qui concerne la puissance apparente»

On peut représenter le théorème de Boucherot par le schéma ci dessous qui fait apparaître n charges consommant chacune sa puissance active et sa puissance réactive :

Théorème de Boucherot

Ces relations apparaissent également dans la composition des n triangles des puissances :

n triangles

On constate bien sur cette construction que les puissances actives et réactives s'ajoutent algébriquement sur les axes alors que la puissance apparente S n'est pas égale, en valeur, à la somme des hypoténuses des triangles.

En revanche, la puissance apparente complexe, représentée par le vecteur S est bien la somme vectorielle des puissances apparentes complexes des diverses charges.

On peut donc écrire :

S ≠ S1 + S2 + ... + Sn alors que S = S1 +S2 + ... + Sn

Attention

Le théorème de Boucherot est valable à fréquence constante Par ailleurs, en général : S ≠ V1.I1 + V2.I2 + ... + VnIn

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